bonjour pouvez m'aider soit la fonction définie sur I =(-2;2) par f(x)=x3/3-x2-3x+1 calculer sa dérivée f'(x) résoudre f'(x)=0 et trouver les deux solutions x1

f'(x) vaut x^2-2x-3 =(x-1)^2-4 et s'annule en x1=3 et x2=-1 vaut donc (x+1)(x-3)

f' >0 de -inf à -1 <0 entre -1 et 3 et >0 sur 3 +infini

f croit de infini à f(-1)=32/9 puis décroit jusqu'à f(3)=-8 et croit de cette valeur à l'infini

(elle s'annule donc 3 fois sur R)

La dérivée de f(x)

f'(x)=x²-2x-3 =(x+1)(x-3).

Cette dérivée s'annule en x=-1 et x=3

La fonction est définie sur [-2;2], donc on ne prend pas en compte la racine 3

D'après le cours sur les polynomes du second degré, le polynome x²-2x-3 sera positif à l'extérieur des racines.

Donc

si  -2 <= x <= -1 , f'(x) >= 0 , donc f croissante sur [-2,-1]

si -1 <= x <= 2 , f'(x) <= 0, donc f décroissante sur [-1,2]

f(-2)=-8/3-4+6+1=-8/3+3=1/3

f(-1)=-1/3-1+3+1=8/3

f(2)=8/3-4-6+1=-19/3

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, f(-2) > 0 et f(-1) > 0 et f croissante sur [-2,-1], donc f(x) > 0 sur cet intervalle.

D'après le corollaire des valeurs intermediaires, f(-1) > 0 et f(2) < 0 et f décroissante sur [-1,2], donc il existe une seule valeur a comprise en -1 et 2 telle que f(a)=0

0,3 < a < 0,31 ( avec la calculette )

Donc

si -2 <= x <= a , f(x) >= 0

si a <= x <= 2 , f(x) <= 0