SVP n désigne un nombre de N. Combien existe-t-il de nombres premiers de la forme n⁴ + 4? Penser à écrire n⁴ + 4 comme la différence de deux carrés : (n² + 2)²

Réponse :

le seul nombre premier de la forme n⁴ + 4

  est obtenu pour n = 1 --> 5

Explications étape par étape :

■ BONJOUR !

■ n⁴ + 4 = (n² + 2)² - (2n)²

             = (n²+2 - 2n) (n²+2 + 2n)

             = [ (n-1)² + 1 ] [ (n+1)² + 1 ]

             = (n-1)²(n+1)² + (n-1)² + (n+1)² + 1

             = (n²-1)² + 2n² + 3

■ on veut n⁴ + 4 au moins impair

  --> on veut (n²-1)² pair

  --> on veut n²-1 pair

  --> on veut n² impair

  --> il faut n impair = 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; ...

■ tableau-réponse :

          n --> 1      3      5          7          9

  n⁴ + 4 --> 5    85   629    2405   6565

  629 n' est pas premier puisque 629 = 17x37

  85 ; 2405 ; 6565 ; ... sont divisibles par 5 .

■ soit n = 2k + 1 ( donc n impair ) :

  [ (2k+1)² ]² + 4 = [ 4k² + 4k + 1 ]² + 4

                         = 16k^4 + 16k² + 1 + 32k³ + 8k² + 8k + 4

                         = 16k^4 + 32k³ + 24k² + 8k + 5

                         = 8k(2k³+4k²+3k+1) + 5

  on veut un nombre n⁴ + 4 impair " non-Multiple de 5 "

          k --> 0       1        2         3

          n --> 1        3       5         7

  n⁴ + 4 --> 5      85    629   2405

■ conclusion :

  le seul nombre premier de la forme n⁴ + 4

  est obtenu pour n = 1 --> 5 .