Bonjour j'aurai besoin d'aide , j'ai un exercice à rendre et ayant déjà fait la première partie , je ne comprends pas trop le sens de la seconde partie de l'exe

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Tu remplaces f(x) par g dans ce qui suit !!

Je suis obligé de faire la 1) pour expliquer .

Quand x tend vers - inf :

lim f(x)= lim x/x²= lim 1/x= 0

Quand x tend vers + inf :

lim f(x)= lim x/x²= lim 1/x= 0

Tu as trouvé f '(x)=(-x²+8x+9)/(x²+9)² .

Donc f '(x) est du signe de : -x²+8x+9 qui est positif entre ses racines car le coeff de x² est < 0.

Les racines sont : -1 et 9.

De plus f(-1)=-1/2 et f(9)=1/18

Tableau de variation :

x---------->-inf....................-1.....................9...................+inf

f '(x)------>..............-............0.........+..........0......................

f(x)-------->lim=0......D........-1/2......C......1/18...................lim=0

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

Sur ]-inf;-1] , f(x) est continue et strictement décroissante avec lim f(x) = 0 pour x tendant vers -inf et f(x)=-1/2 pour x=-1. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur ]-inf;-1] ,   f(x) ∈ ]0;-1/2].

Sur [-1;9] , f(x) est continue et strictement croissante avec f(x)=-1/2 pour x=-1 et f(x)=1/18 pour x=9. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur [-1;9],   f(x) ∈[-1/2;1/18].

Sur [9;+inf[, f(x) est continue et strictement décroissante avec f(x)=1/18 pour x=9 et  lim f(x) = 0 pour x tendant vers +inf. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, sur [9;+inf[,    f(x) ∈ [1/18;0[.

Ce qui permet de conclure que :

-1/2 ≤ f(x) ≤ 1/18