JE SUIS EN TERMINALE SPE MATH ET J’AI DU MAL AVEC CET EXERCICE: (un) est la suite définie par u0= 1 et pour tout entier naturel n, Un+1 = une^-un. 1. Démontrer

Explications étape par étape:

1)- a)- Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n: Un ∈ [0; 1]

pour n=0, U0 = 1 donc U0 ∈ [0; 1]

Supposons que pour tout entier naturel n: Un ∈ [0; 1]

Un ∈ [0; 1]

==> 0 <= Un <= 1

==> -1 <= -Un <= 0

==> e^-1 <= e^-Un <= e^0 et 0 < e^-1 et e^0=1

==> 0 <= e^-Un <= 1 et 0<= Un <= 1

==> 0<= Un.e^-Un <= 1

==> 0 <= Un+1 <= 1

==> Un+1 ∈ [0; 1]

donc par recurrence on en deduit que pour tout n de N:

Un ∈ [0; 1]

1)-b)- On a démontré dans la question précédente que:

0 <= e^-Un <= 1 et comme Un >= 0

==> Un.e^-Un <= Un

==> Un+1 <= Un

2)- Un est décroissante et minorée donc Un est convergente et converge vers un réel l qui vérifie l'équation f(l)=l avec f une fonction définie sur [0; 1] par:

f(x)=x.e^-x

trouvons l:

f(l)=l

<==> l.e^-l = l

<==> l.e^-l -l =0

<==> l.(e^-l -1) = 0

<==> l=0 ou e^-l = 1

<==> l=0 ou l=0

<==> l=0

on en deduit que l=0