Bonjour je bloque sur cet exercice, si quelqu’un peut m’aider un petit peu... Merci d’avance

Bjr,

1)

[tex]f(z) \in \mathbb{R} \\\\\iff f(z)=\overline{f(z)}\\\\\iff z(\overline{z}+1)=\overline{z}(z+1)\\\\\iff z=\overline{z}\\\\\iff z \in \mathbb{R}[/tex]

C'est l'axe des abscisses.

2)

Notons z=a+ib

[tex]f(z)=(a+ib)(a-ib+1)=(a+a^2+b^2)+bi[/tex]

f(z) imaginaire pur est équivalent à

[tex]a^2+b^2+a=0\\\\\iff (a+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac1{4}+b^2=0 \\\\\iff (a+\dfrac{1}{2})^2+b^2=\dfrac1{2^2}[/tex]

C'est le cercle de centre (-1/2;0) et de rayon 1/2

3)

[tex]a^2+b^2+a=4\\\\\iff (a+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac1{4}+b^2=4 \\\\\iff (a+\dfrac{1}{2})^2+b^2=\dfrac{17}{4}[/tex]

C'est le cercle de centre (-1/2;0) et de rayon [tex]\sqrt{17}[/tex]/2

4)

[tex]a^2+b^2+a=b\\\\\iff (a+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac1{4}+(b-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac1{4}=0 \\\\\iff (a+\dfrac{1}{2})^2+(b-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac1{2}[/tex]

C'est le cercle de centre (-1/2;1/2) et de rayon 1/[tex]\sqrt{2}[/tex]

Merci