Bonjour, J’ai ce devoir à faire pour la semaine prochaine, pouvez-vous m’aider svp ?

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Tu sais : je ne suis pas sûr d'avoir les capacités pour t'aider dans tous tes devoirs !!

Partie A :

1)

A(0;4) donc f(0)=4.

B(-1.5;1) donc f(-1.5)=1

2)

f(x)=(ax+b)exp(-x) +1

f(0)=4 donne :

(a*0+b)exp(0) + 1=4

b*1+1=4

b=3

Donc f(x)=(ax+3)exp(-x) + 1

f(-1.5)=1 donne :

(-1.5a+3)exp(1.5) + 1=1

(-1.5a+3)exp(-1.5)=0

Comme exp(-1.5) ≠  0 alors (-1.5a+3)exp(-1.5)=0 implique :

-1.5a+3=0 qui donne :

a=3/1.5

a=2

Donc :

f(x)=(2x+3)exp(-x) + 1

Partie B  :

1)

En  -∞ , -x tend vers +∞ donc  lim exp(-x) =  + ∞.

2)

a)

(2x+3)exp(-x) +  1 =(2x+3)/exp(x) +  1=[2x/exp(x)] + [3/(exp(x)]+1

b)

La fct "exp(x)" impose sa limite par rapport à la fct "x".

Donc quand x tend vers +∞ :

lim [x/exp(x)] = 0

lim  [3/(exp(x)]] = 0

lim ( [2x/exp(x)] + [3/(exp(x)]+1)=0+0+1=1

Ce qui prouve que la fonction f(x) admet une asymptote en +∞ qui est la droite D d'équation  y=1.

c)

On résout :

(2x+3)exp(-x) +  1 =1 soit :

(2x+3)exp(-x) =0 qui implique :

2x+3=0 soit x=-1.5

Donc point d'intersection : B(-1.5;1)

d)

On va chercher le signe de  f(x)-1 :

f(x)-1=(2x+3)exp(-x) +  1 -1=(2x+3)exp(-x)

Comme le facteur exp(-x) est toujours positif, f(x) -1 est du signe de (2x+3).

2x+3 >  0 pour x > -1.5

Sur ]-∞;-1.5[ : f(x) - 1 <  0 donc Cf au-dessous de D.

Sur ]-1.5;+∞[ , f(x)-1 > 0 donc Cf au-dessus de D.

Voir graph .

3)

La dérivée de 1 est zéro.

(2x+3)exp(-x) est de la forme : u*v avec :

u=2x+3 donc u'=2

v=exp(-x) donc  v'=-exp(-x)

f '(x)=2*exp(-x)-exp(-x)(2x+3)

f '(x)=exp(-x)[2-(2x+3)]

f '(x)=exp(-x)(-2x-1)

4)

f '(x)=exp(-x)(-2x-1)

Donc f '(x) est du signe de (-2x-1).

-2x+1 > 0 pour x < 1/2

Variation :

x--------------->-∞..................................1/2.......................+∞

f '(x)------------>..................+..................0........-..............

f(x)-------------->-∞.....................C...........?.......D................lim =1

C=flèche qui monte  et D=flèche qui descend.

f(-0.5)  ≈ 4.3

5)

A(0;4)  donc équation de T :

y=f '(0)(x-0)+f(0)

f '(0)=-1

f(0)=4

y=-x+4