Bonsoir est ce que quelqu’un pourrait me dire quel est le Signe de f(x) = xe^1+x Et m’expliquer ?

Bonsoir,

Pour tout réels x, e^(1+x)>0 donc le signe de xe^(1+x) est le signe de x.

Donc quand x>0, f(x) est  strictement positive, quand x<0 f(x) est strictement négative, quand x=0, f(x) est nulle

Joyeux Noël ! :)

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

Un petit "merci pour votre aide" ne serait pas superflu !!

On fait le tableau de variation.

f(x)=x*exp(1+x) qui est de la forme u*v.

u=x donc u'=1

v=exp(1+x) donc v '=1*exp(1+x)=exp(1+x)

f '(x)=exp(1+x)+x*exp(1+x)

f '(x)=exp(1+x) (1+x)

exp(1+x) tjrs > 0 donc f '(x) est du signe de (1+x).

lim f(x)

x-->-inf=(-inf) *( + inf)=-inf

lim f(x)

x-->+inf=(+inf) *( + inf)=+inf

Variation :

x---------->-inf........................-1.......................+inf

f (x)------>....................-...........0.............+.............

f(x)------>-inf................D.........-1................C.............+inf

D=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

Donc sur ]-inf;-1] , f(x) < 0.

Sur [-1;+inf[ , f(x) est continue et strictement croissante et f(x) passe d'une valeur négative à des valeurs positives . Donc d'après le théorème des Valeurs Intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=0.

f(0)=0*exp(1)=0

Tableau de signes :

x----------->-inf............................0....................+inf

f(x)---------->..............-.................0..........+..............

Voir graph pour contrôle.