J’ai besoin d’aide avec ce devoir j’y arrive pas ,merci énormément d’avance

Bonjour,

1) f(-2)=f(2) donc f n'est pas injective

2)

[tex]0\leq x^2< x^2+4\\\\|x|=\sqrt{x^2} < \sqrt{x^2+4}\\\\0< \sqrt{x^2+4}-|x|=f(x)[/tex]

f n'est donc pas surjective car aucun élement de IR- n'a d antécédent.

3)

a)

Comme x est sur IR+, |x|=x et donc

[tex]g(x)=\sqrt{x^2+4}-x[/tex]

g est dérivable et

[tex]g'(x)=\dfrac{x-\sqrt{x^2+4}}{\sqrt{x^2+4}}<0[/tex]

g est strictement monotone c'est donc une injection sur IR+

b)

g est décroissante de g(0)=2 à lim(g(x))=0

En effet

[tex](\sqrt{x^2+4}-x)\times \dfrac{\sqrt{x^2+4}+x}{\sqrt{x^2+4}+x}=\dfrac{x^2+4-x^2}{\sqrt{x^2+4}+x}\\\\=\dfrac{4}{\sqrt{x^2+4}+x}\rightarrow 0[/tex]

Donc g(IR+)=]0;2]

c)

De plus g est continue sur IR+

g strictement monotone et continue donc g est une bijection sur IR+

Pour x dans ]0;2]

[tex](gog^{-1})(x)=g(g^{-1}(x))=x=\sqrt{g^{-1}(x)^2+4}-g^{-1}(x)\\\\(x+g^{-1}(x))^2=g^{-1}(x)^2+4\\\\x^2+2xg^{-1}(x)-4=0\\\\g^{-1}(x)=\dfrac{4-x^2}{2x}[/tex]

Merci