Bonsoir, il y’a cet exercice que je n’arrive pas à comprendre. Quelqun pourrait m’expliquer svp !! Merci !

Réponse :

1) Donner la valeur de U0 et calculer U1

    U0 = 2500

    U1 = 2500 - 2500 x 0.1 = 2500(1 - 0.1) = 0.9 x 2500 = 2250 + 100

2) Montrer que pour tout n,   Un+1 = 0.9Un + 100

     U2 = 0.9 x 2250 = 2025  + 100

     U3 = 0.9 x 2025 = 1822.5 + 100

     ......

     Un+1 = 0.9 Un  + 100

3) a) Montrer par récurrence que pour tout n;  Un ≥ 1000

      Initialisation : vérifions que P(0) est vraie

                               U0 = 2500 ≥ 1000 est vraie   donc P(0) est vraie

      hérédité :  supposons que P(n) est vraie pour tout entier naturel n;  c'est à dire  Un ≥ 1000  et montrons que P(n+1) est vraie  c'est à dire

Un+1 ≥ 1000

    on a; par hypothèse Un ≥ 1000 ,   0.9Un ≥ 0.9 x 1000  donc  0.9Un + 100 ≥ 0.9 x 1000 + 100   donc 0.9Un + 100 ≥ 900 + 100 = 1000

d'où  Un+1 ≥ 1000  donc  P(n+1) est vraie pour tout n

    Conclusion:   P(0) est vraie  et P(n) est héréditaire

                           donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n

    b) étudier la monotonie de la suite (Un)

        Un+1 - Un = 0.9Un + 100 - Un = - 0.1 Un + 100  or Un ≥ 1000

donc  - 0.1Un + 100 ≤ 0  d'où  Un+1 - Un ≤ 0   donc la suite (Un) est décroissante sur N

  c) en déduire que la suite (Un) est convergente

        (Un) est décroissante  et Un ≥ 1000 donc (Un) est minorée

   donc la suite (Un) est convergente

4) soit  (Vn) définie pour tout n par Vn = Un - 1000

       a) Montrer que (Vn) est une suite géométrique

               Vn+1 = Un+1  - 1000 = 0.9Un + 100 - 1000 = 0.9Un - 900

                Vn+1/Vn = (0.9Un - 900)/(Un - 1000) = 0.9(Un - 1000)/(Un - 1000)

             donc  Vn+1/Vn = 0.9   donc la suite (Vn) est une suite géométrique de raison q = 0.9   et de premier terme  V0 = 2500 - 1000 = 1500

     donc  Vn = 1500 x (0.9)ⁿ

        b) en déduire l'expression de (Un) en fonction de n

                  Vn = Un - 1000  donc  Un = Vn  + 1000

               Un =1500 x (0.9)ⁿ + 1000

        c) déterminer la limite de la suite (Un) et interpréter ce résultat dans le contexte

           lim Un = lim (1500 x (0.9)ⁿ + 1000) = 1000

           n→ + ∞            

car  lim (0.9)ⁿ = 0

      n→+∞

A long terme la forêt ne comportera que 1000 arbres

Explications étape par étape