ABCD est un parallelogramme tel que : AB= 6cm ; BC= 4cm et E le milieu de (AB] Soit F le symétrique de B par rapport à C. 1) Construire la figure. 2) Montrer qu

Réponse :

2) montrer que :  (EC) // (AF)

les vecteurs AF et EC sont colinéaires s'il existe un réel k tel

vec(AF) = kvec(EC)

vec(AF) = vec(AB) + vec(BF)   d'après la relation de Chasles

             = vec(AB) + vec(BC) + vec(CF)    or vec(BC) = vec(CF)

             = vec(AB) + vec(BC) + vec(BC)

             = vec(AB) + 2vec(BC)

vec(EC) = vec(EB) + vec(BC)   d'après la relation de Chasles

             = 1/2)vec(AB) + vec(BC)

vec(AF) = 2(1/2vec(AB) + vec(BC) = 2vec(EC)

donc les vecteurs AF et EC sont colinéaires, on en déduit que les droites (EC) et (AF) sont parallèles

3) la droite (AF) coupe (CD) en G.  Montrer que G est le milieu de (AF)

les points B, C et F alignés  et (BC) // (AD)  donc (CF) // (AD)

d'après le th.Thalès on a ; GF/GA = CF/AD    or  CF = BC  et BC = AD (ABCD parallélogramme) donc CF = AD

GF/GA = AD/AD = 1  ⇔ GF = GA   donc G est le milieu de (AF)

4) calculer, en justifiant, la longueur EG

d'après le th.Thalès on a GC/GD = CF/AD = 1   donc GC = GD  donc G est le milieu de (CD)   or  AB = CD  (ABCD parallélogramme)  donc AE = GD

et (AE) // (GD)  donc AEGD est un parallélogramme

par conséquent  AD = EG = 4 cm  

Explications étape par étape