Reconnaissance de la courbe représentative sur [-3;3] par f f(x)=x²+x+1/x²+2 1.Calculer la dérivée de la fonction 2.Etudier le signe de la dérivée de la fonctio

[tex]f ' (x) = \frac{(2x+1)( x^{2} +1) - ( x^{2} +x+1)(2x)}{( x^{2} +1) ^{2} } = \frac{ x^{2} +1}{( x^{2} +1) ^{2} } [/tex]

d'après le tableau de variations, la fonction est décroissante, croissante puis décroissante, c'est donc la courbe 1

Bonsoir,

1) [tex]f(x)=\dfrac{x^2+x+1}{x^2+1}\\\\f'(x)=\dfrac{(x^2+x+1)'\times(x^2+1)-(x^2+1)'\times(x^2+x+1)}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x^2+1)-2x(x^2+x+1)}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2x^3+2x+x^2+1-2x^3-2x^2-2x}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{(1-x)(1+x)}{(x^2+1)^2}}[/tex]

2) Signe de la dérivée f'(x)

Le dénominateur de la fraction est strictement positif (c'est le carré d'une somme de deux nombres positifs).
==> Le signe de la dérivée est le même que le signe du numérateur.

Tableau de signes de f'(x)
Racines du numérateur : 
(1 - x)(1 + x) = 0 ==> 1 - x = 0   ou   1 + x = 0
                         ==> -x = -1  ou  x = -1
                         ==> x = 1  ou  x = -1
Le dénominateur est strictement positif.

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-3&&-1&&1&&3\\ 1-x&&+&+&+&0&-&\\ 1+x&&-&0&+&+&+&\\ (x^2+1)^2&&+&+&+&+&+&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]

3) Variations de la fonction f

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|}x&-3&&-1&&1&&3 \\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\\\f(x)&0,7&\searrow&\dfrac{1}{2}=0,5&\nearrow&\dfrac{3}{2}=1,5&\searrow&1,3\\ \end{array}[/tex]

4) La courbe représentative de la fonction f est la courbe 1.