2. Soit f la fonction définie sur [0 ; +l'infini[ par f(x)=1/2*x*e^(-1/2x) a. Étudier la limite de la fonction f en +l'infini b. Étudier les variations de la fo

Réponse :

Explications étape par étape

f(x)=(1/2)x*e^(-x/2) f(x)=x/[2e^(x/2)]d'après le théorème des croissances comparées la fonction exponentielle croît beaucoup plus vite que la fonction linéaire  donc si x tend vers -oo f(x) tend vers +oo/e^+oo=0+  

b)  valeurs aux bornes  f(0)=0 et f(+oo)=0+

dérivée f'(x)=(1/2)*e^-x/2-(1/2)(1/2)x*e^-x/2

f'(x)=(1/2-x/4)*e^(-x/2) le signe de f'(x) dépend du signe de (1/2-x/4)

f'(x)=0 si x=2

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x      0                               2                                +oo

f'(x)..................+....................0....................-.................

f(x).0........croi......................f(2).......décroi..............0+

f(2)=1*e^(-1)=1/e