Bonjour, Mathématiques niveau terminale général Je vous souhaite une excellente journée.

Réponse:

Exercice 1:

Démontrons par récurrence que: ∀n de N Un = n²+n-1

Pour n=0 , (-1)²+(-1)-1 = 1-1-1 = -1 = U0

soit n de N, supposons que Un = n²+n-1

Un+1 = Un+2n+2 = n²+n-1+2n+2 = n²+2n+1+n

Un+1 = (n+1)²+(n+1)-1

donc par récurrence: ∀n de N, Un = n²+n-1

Exercice 2:

a. Démontrons par récurrence que: ∀n de N Un >= 800

Pour n=0 , U0=1000 >= 800

Soit n de N, supposons que Un >= 800

Un >= 800

==> 0,4.Un >= 0,4 × 800

==> 0,4.Un >= 320

==> 0,4.Un+480 >= 320+480

==> Un+1 >= 800

donc par récurrence: ∀n de N, Un >=800

b. Un+1 - Un = 0,4.Un+480-Un = 480 -0,6.Un

Un >= 800

==> -0,6.Un <= -0,6×800

==> -0,6.Un <= -480

==> 480-0,6.Un <= 0

==> Un+1 - Un <= 0

==> Un+1 <= Un

donc Un est décroissante