Bonsoir Si une âme charitable passe par là pourriez vous m aider. Il s agit de quelque chose de décisif. Mon avenir est entre cet exercice.

Réponse :

bonjour

La première partie de l'exercice est très facile il suffit d'appliquer les connaissances vues cours.  

Explications étape par étape

g(x)=2e^x+2x-7

cette est définie sur R  DF=R

limites

x tend vers -oo, 2e^x tend vers 0, 2x ten vers -oo  donc g(x) tend vers-oo

x tend vers+oo,  g(x) tend vers+oo, 2x tend vers+oo donc g(x) tend vers+oo

dérivée

g'(x)=2e^x +2 cette dérivée est toujours>0 donc g(x) est croissante

Tableau

x   -oo                                    alpha                                               +oo

g'(x)   .............................................+...........................................................

g(x)  -oo ........croissante...............0............croissante.................+oo

D'après le TVI il existe une et une seule  valeur "alpha" telle que g(alpha)=0  

pour moi apha=0,91 (environ)     vérifie avec ta calculette

On peut en déduire que g(x) est <0 sur ]-oo;alpha[ et >0  sur ]alpha; +oo[

Partie B  

f(x)=(2x-5)(1-e^-x)   f(x) est définie sur R  

limites

si x tend vers -oo , 2x-5 tend vers -oo , 1-e^-x tend vers -oo donc f(x)tend vers+oo

si x tend vers+oo, 2x-5 tend vers+oo et (1-e^-x) tend vers 1 donc f(x) tend vers+oo

Dérivée

f'(x)=2(1-e^-x)-(e^-x)(2x-5)= 2+ (e^-x) (2x-7)

si j'effectue le calcul g(x)*(e^-x) =2(e^x)(e^-x)+(e^-x)(2x-7)=2+(e^-x)(2x-7)

je constate que f'(x)=g(x)(e^-x)

comme e^-x est >0 f'(x) a le même signe que g(x)

Tableau

x   -oo                                         alpha                                         +oo

f'(x).........................-................................0......................+..........................

f(x)  +oo.........décroi...........................f(alpha).........croi......................+oo

On remarque au passage que f(alpha)<0 et que f(x)=0  admet deux solutions

2x-5=0   x=5/2  et (1-e^-x)=0 soit x=0

Pour la suite je n'ai pas calculette graph  .

La droite y=2 coupe la courbe en deux points dabscisse : pour l'un x=beta entre -oo et 0  et pour  l'autre x=gamma  entre 5/2 et +oo

f(x)>2 sur ]-oo; beta[U] ]gamma; +oo[

calcule les valeurs béta et gamma avec ta calculette .

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