ABC EST UN TRIANGLE TEL QUE  AB =4V5 . AC=V125 . BC=V45 On considère le cercle circonscrit au triangle ABC. a.Préciser la position de son centre K . Justifier b

Bonsoir,

a) Montrons que le triangle ABC est rectangle en A.

[tex]AB^2=(4\sqrt{5})^2\\AB^2=4^2\times(\sqrt{5})^2\\AB^2=16\times5\\\boxed{AB^2=80}\\\\AC^2=(\sqrt{45})^2\\\boxed{AC^2=45}\\\\BC^2=(\sqrt{125})^2\\\boxed{BC^2=125}[/tex]

[tex]80+45=125\Longrightarrow AB^2+AC^2=BC^2[/tex]

Par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle et [BC] est l'hypoténuse.
Le triangle ABC est donc rectangle en A.

Ce triangle peut être inscrit dans un cercle.
Puisqu'il est rectangle, ce cercle admet [BC] comme diamètre.

Le centre K du cercle circonscrit est le milieu de [BC]

b) Le rayon du cercle est égal à BC/2.

[tex]\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{125}}{2}\\\\\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{25\times5}}{2}\\\\\dfrac{BC}{2}=\dfrac{\sqrt{25}\times\sqrt{5}}{2}\\\\\dfrac{BC}{2}=\dfrac{5\sqrt{5}}{2}[/tex]

La longueur du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC est égale à [tex]\boxed{\dfrac{5\sqrt{5}}{2}}[/tex]